כל פקודה תתחיל ב-MKגדולות עש מיכאל קלי (Michael Kali), וזאת משתי סיבות:
כדי שבטבלת הקיצורים שבתוך \SpecialChar LyX תופענה כל הפקודות זו לצד זו.
הבחירה דווקא באותיות גדולות נועדה לוודא שהפקודות אינן מתנגשות עם פקודות \SpecialChar LaTeX מקוריות.
על הפקודות להיות קצרות ככל האפשר, וזאת כדי לאפשר את כתיבתן במהירות מבלי ליצור להן קיצור מקלדת. הסיבה לכך שלא ניצור קיצור מקלדת לכל פקודה היא שפעמים רבות ניצור פקודות שתיועדנה למקרים מסוימים מאוד, ואז יעבור זמן רב עד שנשתמש בקיצור המקלדת בפעם הבאה ולכן לא נזכור אותו - הרבה יותר פשוט לזכור את הפקודה שיצרנו מכיוון שיש לה תוכן אמיתי שקשור לפלט הרצוי מן הפקודה. סיבה נוספת היא שיצירת קיצור מקלדת לכל פקודה ולו החריגה ביותר תקשה עלינו ליצור קיצורי מקלדת לפקודות חשובות יותר. לפיכך פקודות שימושיות מאוד שבוודאי ניצור להן קיצור מקלדת ונשתמש בו פעמים רבות אינן צריכות להיות קצרות.
כדי להקל על כתיבת פקודות שלא יצרתי להן קיצור מקלדת כתבתי קיצור מקלדת שיוצר את הקידומת של כל פקודות ה-macrosשלי ואז כל מה שנותר הוא להקיש שלוש-ארבע אותיות כדי לבחור את הפקודה הרצויה, קיצור המקלדת המדובר הוא "Ctrl+k".
לכל גופן יש קידומת בת שתי אותיות.
\(\:\)
\(\:\)קבוצות ופונקציות לפי קורסיםLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\:\)המספרים המרוכבים ופונקציות מרוכבות\(\:\)
\(\newcommand{\MKcis}{\text{cis}}\)\(\cos+i\cdot\sin\). המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKre}{\text{Re}}\)החלק הממשי של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKim}{\text{Im}}\)החלק המדומה של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.מופיע גם כתמונה של פונקציה.
אשמח לקבל הערות והארות על הסיכומים על מנת לשפרם בעתיד, כל הערה ולו הפעוטה ביותר (אפילו פסיק שאינו במקום או רווח מיותר) תתקבל בברכה; אתם מוזמנים לכתוב לי לתיבת הדוא"ל: sraya.ansbacher@mail.huji.ac.il.
בשני הקורסים הראשונים של חשבון אינפיניטסימלי ראינו גבולות רבים ושונים ולכל אחד מהם הוצמד תנאי קושי המתאים לו, בכל פעם שהגדרנו גבול חדש הוכחנו מחדש שקיום תנאי קושי שקול לקיום הגבול. סיכום זה מנסה לשים לדבר סוף: לתת הגדרה כללית של הגבול ותנאי קושי כללי, להוכיח שהם שקולים, ולפיכך בכל פעם שניתקל בגבול חדש כל שנצטרך להראות הוא שגבול זה עונה על הגדרת הגבול הכללית ושתנאי קושי המתאים לו עונה על ההגדרה הכללית של תנאי קושי. תודתי נתונה למשה רוזנשטיין ולדניאל אופנר על ליבון הסוגיה והבאתה לכלל פתרון.
\(\:\)
2 ההגדרות הכלליות
הבהרה:
הגדרת הגבול הכללית אינה מתיימרת להחליף את ההגדרות של הגבולות אלא לשמש מעין "תבנית" שלהם ולאפשר לנסח תנאי קושי כללי, בנוסף איני מתיימר לומר שהגדרה זו כוללת את כל הגבולות האפשריים אלא את אלו שראיתי עד כה שבהם הגבול הוא מספר ממשי1להוציא את הפונקציה הגבולית של סדרת פונקציות, ואם יורשה לי אז אנחש שניתן להכליל את ההגדרה הזו גם למקרה זה ולמרחבים מטריים באופן כללי..
\(\clubsuit\)
שימושים נוספים להגדרת הגבול הכללית יכולים להיות הוכחת משפטים כלליים על גבולות כגון אריתמטיקה של גבולות.
תהיינה \(f:A\rightarrow\MKreal\) ו-\(g:A\rightarrow\MKreal\), כאשר \(A\) היא קבוצה המקיימת שלכל \(0<\delta\in\MKreal\) קיים \(a\in A\) כך שמתקיים \(0<g\left(a\right)<\delta\).
הגדרת גבול כללית נאמר של-\(f\)יש גבול (או ש-\(f\)מתכנסת) ביחס ל-\(g\) אם קיים \(L\in\MKreal\) כך שלכל \(0<\varepsilon\in\MKreal\) קיימת \(0<\delta\in\MKreal\) כך שלכל \(a\in A\) המקיים \(0<g\left(a\right)<\delta\) מתקיים \(\left|f\left(a\right)-L\right|<\varepsilon\), ובמקרה כזה נאמר ש-\(L\) הוא גבול של \(f\) ביחס ל-\(g\).
תנאי קושי כללי נאמר ש-\(f\)מקיימת את תנאי קושי עבור \(g\) אם לכל \(0<\varepsilon\in\MKreal\) קיימת \(0<\delta\in\MKreal\) כך שלכל \(a_{1},a_{2}\in A\) המקיימים \(g\left(a_{1}\right),g\left(a_{2}\right)\in\left(0,\delta\right)\) מתקיים \(\left|f\left(a_{1}\right)-f\left(a_{2}\right)\right|<\varepsilon\).
ל-\(f\) יש גבול ביחס ל-\(g\) אם"ם \(f\) מקיימת את תנאי קושי עבור \(g\).
\(\:\)
\(\Leftarrow\)
נניח של-\(f\) יש גבול ביחס ל-\(g\) ויהי \(L\in\MKreal\) גבול של \(f\) ביחס ל-\(g\).
יהי \(0<\varepsilon\in\MKreal\), מההנחה נובע שקיים \(0<\delta\in\MKreal\) כך שלכל \(a_{1},a_{2}\in A\) המקיימים \(g\left(a_{1}\right),g\left(a_{2}\right)\in\left(0,\delta\right)\) מתקיים \(\left|f\left(a_{1}\right)-L\right|<\frac{\varepsilon}{2}\) וגם \(\left|f\left(a_{2}\right)-L\right|<\frac{\varepsilon}{2}\) (יהי \(\delta\) כנ"ל).
מא"ש המשולש נובע שמתקיים \(\left|f\left(a_{1}\right)-f\left(a_{2}\right)\right|<\varepsilon\).
\(\varepsilon\) הנ"ל היה שרירותי ולכן לכל \(0<\varepsilon\in\MKreal\) קיימת \(0<\delta\in\MKreal\) כך שלכל \(a_{1},a_{2}\in A\) המקיימים \(g\left(a_{1}\right),g\left(a_{2}\right)\in\left(0,\delta\right)\) מתקיים \(\left|f\left(a_{1}\right)-f\left(a_{2}\right)\right|<\varepsilon\), כלומר \(f\) מקיימת את תנאי קושי עבור \(g\).
\(\Rightarrow\)
נניח ש-\(f\) מקיימת את תנאי קושי עבור \(g\), א"כ קיימת \(0<\delta\in\MKreal\) כך שלכל \(a',a\in A\) המקיימים \(g\left(a'\right),g\left(a\right)\in\left(0,\delta\right)\) מתקיים \(\left|f\left(a'\right)-f\left(a\right)\right|<1\) (יהיו \(\delta\) ו-\(a'\) כנ"ל2כאן השתמשנו בהנחה שלכל \(0<\delta\in\MKreal\) קיים \(a\in A\) כך ש-\(0<g\left(a\right)<\delta\).).
מכאן שלכל \(a\in A\) המקיים \(0<g\left(a\right)<\delta\) מתקיים \(\left|f\left(a'\right)-f\left(a\right)\right|<1\) ולכן גם \(f\left(a'\right)-1<f\left(a\right)<f\left(a'\right)+1\).
תהא \(\left(\varepsilon_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרת חיוביים מונוטונית יורדת המתכנסת ל-\(0\).
תהא \(\left(\delta_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרת חיוביים קטנים מ-\(\delta\) כך שלכל \(n\in\MKnatural\) ולכל \(a_{1},a_{2}\in A\) המקיימים \(g\left(a_{1}\right),g\left(a_{2}\right)\in\left(0,\delta_{n}\right)\) מתקיים \(\left|f\left(a_{1}\right)-f\left(a_{2}\right)\right|<\varepsilon_{n}\).
תהא \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרת איברים ב-\(A\) כך שלכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים \(0<g\left(a_{n}\right)<\delta_{n}<\delta\)3גם כאן השתמשנו בהנחה הנ"ל..
מהשלב הקודם נובע שהסדרה \(\left(f\left(a_{n}\right)\right)_{n=1}^{\infty}\) חסומה ולכן (ע"פ משפט בולצאנו-ויירשטראס) יש לה תת-סדרה מתכנסת.
תהא \(\left(n_{k}\right)_{k=1}^{\infty}\) סדרת אינדקסים עולה ממש כך ש-\(\left(f\left(a_{n_{k}}\right)\right)_{k=1}^{\infty}\) מתכנסת ונסמן את גבולה ב-\(L\).
יהי \(0<\varepsilon\in\MKreal\), מהגדרת \(\left(\varepsilon_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) קיים \(N\in\MKnatural\) כך שלכל \(N<n\in\MKnatural\) מתקיים \(\varepsilon_{n}<\frac{\varepsilon}{2}\) (יהי \(N\) כנ"ל).
יהי \(k\in\MKnatural\) כך ש-\(N<n_{k}\), מכאן ש-\(\left|f\left(a_{n_{k}}\right)-L\right|<\varepsilon_{n_{k}}<\frac{\varepsilon}{2}\).
מההנחה נובע שלכל \(a\in A\) המקיים \(0<g\left(a\right)<\delta_{n_{k}}\) מתקיים \(\left|f\left(a\right)-f\left(a_{n_{k}}\right)\right|<\varepsilon_{n_{k}}<\frac{\varepsilon}{2}\) ומא"ש המשולש נקבל שמתקיים \(\left|f\left(a\right)-L\right|<\varepsilon\).
\(\varepsilon\) הנ"ל היה שרירותי ולכן לכל \(0<\varepsilon\in\MKreal\) קיימת \(0<\delta\in\MKreal\) כך שלכל \(a\in A\) המקיים \(g\left(a\right)\in\left(0,\delta\right)\) מתקיים \(\left|f\left(a\right)-L\right|<\varepsilon\), כלומר ל-\(f\) יש גבול ביחס ל-\(g\).
3 עניית הגבולות ותנאי קושי על ההגדרות הכלליות
בניגוד לחלק הקודם חלק זה לא יהיה פורמלי מפני שכל ייעודו להמחיש את גמישות הגדרת הגבול הכללית ולהראות שהגבולות שנלמדו עד כה בשני הקורסים נכנסים תחת כנפיו.
3.1 אינטגרביליות רימן
למרות שלכאורה היה ראוי להתחיל מהגבול הפשוט ביותר, הלא הוא גבול של סדרה ממשית, ראיתי לנכון להתחיל דווקא מאינטגרביליות רימן מכיוון שגבול זה מבהיר מדוע היינו זקוקים לרכיבים רבים מצד אחד4בהגדרה הכללית מופיעות שתי פונקציות בניגוד לגבולות שלמדנו שבהם מופיעה רק פונקציה אחת. ולמעט רכיבים מצד שני5תחום ההגדרה של \(f\) ו-\(g\) זהה ולכאורה שתיהן מקבלות את אותו קלט (בהגדרה \(f\) ו-\(g\) מקבלות את אותו \(a\) בכל פעם)..
תהא \(h:\left[a,b\right]\rightarrow\MKreal\) הפונקציה שעבורה אנחנו רוצים לחשב את האינטגרל על \(\left[a,b\right]\) (או להוכיח את קיומו או אי-קיומו).
עבור אינטגרביליות רימן של \(h\) על \(\left[a,b\right]\) נגדיר את \(A\) להיות קבוצת הזוגות הסדורים שהאיבר הראשון בהם הוא חלוקה של \(\left[a,b\right]\) והשני הוא בחירת נקודות המתאימה לה.
\(f\) תהיה הפונקציה המחזירה את סכום רימן המתאים ו-\(g\) תהיה הפונקציה המחזירה את פרמטר החלוקה.
כעת יגלול הקורא את המסמך לתחילתו ויראה שאכן עבור \(A\), \(f\) ו-\(g\) הנ"ל מתקבלת הגדרת אינטגרביליות רימן ותנאי קושי המתאים לה.
\(\clubsuit\)
ניתן גם להכניס את \(h\) ו-\(\left[a,b\right]\) לסדרות ב-\(A\) אך אז בניגוד לחלוקה ולבחירת הנקודות \(h\) ו-\(\left[a,b\right]\) יהיו קבועים, כלומר כל סדרה ב-\(A\) תיראה כך: \(\left(h,\left[a,b\right],P,P^{*}\right)\), כאשר בכל הסדרות מופיעים אותם \(h\) ו-\(\left[a,b\right]\) ואילו \(P\) יכולה להיות כל חלוקה של \(\left[a,b\right]\) ו-\(P^{*}\) יכולה להיות כל בחירת נקודות המתאימה ל-\(P\).
3.2 סדרות
לכאורה אנחנו בבעיה, גבול של סדרה עובד עם \(N\) טבעי ו-\(n\)-ים שהולכים וגדלים ואילו בהגדרה השתמשנו ב-\(\delta\) ממשית במקום ב-\(N\) טבעי וזו (בנוסף לכך שאינה עונה על ההגדרה) מקרבת אותנו דווקא ל-\(0\), להלן הפתרון.
\(A\) היא פשוט \(\MKnatural\).
\(f\) היא הסדרה שאת גבולה אנו רוצים להגדיר ו-\(g\) היא הפונקציה המחזירה את ההופכי של מספר טבעי (לכן ככל ש-\(\delta\) קטנה יותר \(n\) דווקא גדול יותר).
השימוש דווקא ב-\(N\) טבעי אינו מהותי להגדרת הגבול של סדרה, ניתן היה להגדיר גם כך: "...קיים \(M\in\MKreal\) כך שלכל \(M<n\in\MKnatural\) מתקיים...", שהרי אם קיים \(N\) טבעי בפרט קיים \(M\) ממשי ואם קיים \(M\) ממשי אז גם \(\max\left\{ \left\lceil M\right\rceil ,1\right\} \) (שהוא טבעי כמובן) מקיים את המבוקש.
\(\clubsuit\)
מכיוון שהתכנסות טורים והתכנסות סדרת פונקציות בנקודה הם מקרים פרטיים של התכנסות סדרה לא ראיתי צורך לייחד עליהם את הדיבור.
3.3 גבול של פונקציה בנקודה
תהא \(h:D\rightarrow\MKreal\) כאשר \(D\subseteq\MKreal\) וקיימת נקודה \(x_{0}\in\MKreal\) כך ש-\(B_{\delta}^{\circ}\left(x_{0}\right)\subseteq D\) (עבור \(0<\delta\in\MKreal\) כלשהי) שבה אנו רוצים לחשב את הגבול של \(h\) (או להוכיח את קיומו או אי-קיומו).
לכל \(\left(x_{0},x\right)\in A\) הפונקציה \(f\) תחזיר את \(h\left(x\right)\) ואילו \(g\) תחזיר את \(\left|x-x_{0}\right|\).
3.4 גבול של פונקציה ב-\(\pm\infty\)
כבר פתרנו את הבעיה של גבול ממשי ב-\(\infty\) עבור סדרות, הפתרון עבור פונקציות יהיה דומה מאד.
תהא \(h:D\rightarrow\MKreal\) כאשר \(D\subseteq\MKreal\) וקיים \(x_{0}\in\MKreal\) כך ש-\(\left(x_{0},\infty\right)\subseteq D\) (עבור גבול ב-\(\infty\)) או \(\left(-\infty,x_{0}\right)\subseteq D\) (עבור גבול ב-\(-\infty\)).
\(A\) תהיה פשוט \(D\) ו-\(f\) תהיה \(h\).
\(g\) תלויה בשאלה אם אנו עוסקים בגבול ב-\(\infty\) או ב-\(-\infty\).
אם מדובר ב-\(\infty\) אז \(g\) תוגדר ע"י (לכל \(a\in A\))6עבור \(a=0\) ניתן היה להגדיר את \(g\left(a\right)\) להיות כל מספר (כמובן, ייתכן גם ש-\(0\notin A\)).:\[
g\left(a\right)=\begin{cases}
\frac{1}{a} & a\neq0\\
0 & a=0
\end{cases}
\]ואם מדובר בגבול ב-\(-\infty\) אז \(g\) תוגדר ע"י (לכל \(a\in A\)):\[
g\left(a\right)=\begin{cases}
-\frac{1}{a} & a\neq0\\
0 & a=0
\end{cases}
\]
3.5 אינטגרביליות לא אמיתית מסוג ראשון
תהא \(h:\left[x_{0},\infty\right)\rightarrow\MKreal\) עבור \(x_{0}\in\MKreal\) כלשהו (כאן כבר אניח שהקורא יבין כיצד להכליל עבור אינטגרל לא אמיתי על הקרן \(\left(-\infty,x_{0}\right]\)).
תהא \(h:\left[a,b\right]\rightarrow\MKreal\) פונקציה לא חסומה כאשר \(a\) היא נקודה מיוחדת, כלומר \(h\) אינה חסומה בכל סביבה של \(a\).
\(A\) תהיה קבוצת הסדרות המכילות את הרכיבים הבאים(לפי הסדר): \(x_{0}\in\left(a,b\right]\), \(P\) חלוקה של של \(\left[x_{0},b\right]\) ו-\(P^{*}\) בחירת נקודות המתאימה ל-\(P\).
\(f\) תהיה הפונקציה המחזירה את סכום רימן המתאים ואילו \(g\) תחזיר את \(\left|x_{0}-a\right|\).
רוצים לפרגן לי על בניית האתר וכתיבת הסיכומים? אתם מוזמנים לתת טיפ.פורמטים נוספים:
#scrollButton {
position: fixed; /* Keeps the button in a fixed position */
bottom: 0.7em; /* Distance from the bottom */
right: 0.7em; /* Distance from the right */
height: 3.5em;
width: 3.5em;
cursor: pointer;
background-color: #084149;
opacity: 80%;
}
#scrollImage {
position: fixed; /* Keeps the button in a fixed position */
bottom: 0.7em; /* Distance from the bottom */
right: 0.7em; /* Distance from the right */
height: 3.5em;
width: 3.5em;
opacity: 80%;
}
function scrollToTop() {
window.scrollTo({ top: 0, behavior: 'smooth' });
}
דפי האתרדף הביתאודותצור קשרמפת אתרענפים מתמטייםהתחלהאנליזהאלגברהענפים נוספיםאקסיומת השלמותסיכומי הרצאות במתמטיקהדף הביתתרומהאודותהקדשהמפת אתרהתחלהאנליזהאלגברהענפים נוספיםצור קשרעודלאתר הקודםsrayaa.comעִבְלִיקְסתנ"ך ברויאר מוקלט
( function() {
var skipLinkTarget = document.querySelector( 'main' ),
sibling,
skipLinkTargetID,
skipLink;
// Early exit if a skip-link target can't be located.
if ( ! skipLinkTarget ) {
return;
}
/*
* Get the site wrapper.
* The skip-link will be injected in the beginning of it.
*/
sibling = document.querySelector( '.wp-site-blocks' );
// Early exit if the root element was not found.
if ( ! sibling ) {
return;
}
// Get the skip-link target's ID, and generate one if it doesn't exist.
skipLinkTargetID = skipLinkTarget.id;
if ( ! skipLinkTargetID ) {
skipLinkTargetID = 'wp--skip-link--target';
skipLinkTarget.id = skipLinkTargetID;
}
// Create the skip link.
skipLink = document.createElement( 'a' );
skipLink.classList.add( 'skip-link', 'screen-reader-text' );
skipLink.href = '#' + skipLinkTargetID;
skipLink.innerHTML = 'לדלג לתוכן';
// Inject the skip link.
sibling.parentElement.insertBefore( skipLink, sibling );
}() );